大雾的一点

动力学

质心运动定理

​ 将质心位矢\(\mathbf{r_c}=\frac{\sum(m_i\mathbf{r_i})}{m}\),对时间求导得到质心运动的速度 \[ \mathbf{v_c}=\frac{d\mathbf{r_c}}{dt}=\frac{1}{m}\sum(m_i\mathbf{v_i}) \] ​ 可以得到 \[ m\mathbf{v_c}=\sum(m_i\mathbf{v_i}) \] ​ 质点的动量等于该质点系的质量与质心速度的乘积，即 \[ \mathbf{p}=m\mathbf{v_c} \] ​ 质点系的总动量p的时间变化率即为该质点系所收到的合外力F \[ \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\frac{d\mathbf{v_c}}{dt} \] ​ 式中\(\frac{d\mathbf{v_c}}{dt}\)为质心加速度，以\(\mathbf{a_c}\)表示，则有 \[ \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}=m\mathbf{a_c} \] ​ 质点系的质量与其质心加速度的乘积等于该质点系所受到的合外力

角动量

​ 以某固定点为参考点，位矢r

​ 定义：设质点质量为m，速度为v，动量p=mv，相对于固定参考点O的位矢为r.质点对O点的位矢与其动量的矢积为质点对O点的角动量L，即 \[ \mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v} \] ​ 角动量是矢量，垂直于r和p所组成的平面，其指向右手螺旋法则来确定。

角动量定理

​ 将\(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}\)对时间求导 \[ \frac{\mathrm{d\mathbf{L} } }{\mathrm{d} t}= \frac{\mathrm{d } }{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v})=\mathbf{r}\times \frac{\mathrm{d}( m\mathbf{v})}{\mathrm{d} t} +\frac{d\mathbf{r} }{dt}\times m\mathbf{v} \]

\[ \frac{\mathrm{d\mathbf{L} } }{\mathrm{d} t}= \mathbf{r}\times \mathbf{F}+\mathbf{v}\times(m\mathbf{v}) \]

​ 而 \[ \mathbf{v}\times m\mathbf{v}=0 \] ​ 所以 \[ \frac{\mathrm{d\mathbf{L} } }{\mathrm{d} t}= \mathbf{r}\times \mathbf{F} \] ​ 我们定义力的作用点相对参考点的位矢r与力F的矢积为力对参考点的力矩，以M表示，即有 \[ \mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F} \] ​ 微分形式下则有： \[ \mathbf{M}=\frac{d\mathbf{L}}{dt} \] ​ 即作用在质点上的合力对任意固定点O的力矩等于质点对同一点的角动量的时间变化率

​ 此即质点的角动量定理，可以改写为 \[ \mathbf{M}dt=d\mathbf{L} \] ​ 上式为质点的角动量定理的微分式，对上式积分得到： \[ \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}dt=\mathbf{L_2}-\mathbf{L_1} \] ​ 力矩对时间的积分\(\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}dt\)称为冲量矩。

​ 上式表示：作用在质点上所有力的合力在某段时间内的冲量矩等于质点在同一时间内角动量的增量

​ 质点的角动量定理是支配质点绕定点运动的动力学基本规律，实质上仍然是牛顿第二定律，与牛二相比只是用力矩替代了作用在质点上的力，用角动量代替了动量。

​ 力矩是角动量发生变化的原因。

角动量守恒

​ 当作用在质点上的合力对固定点的力矩为零，即M=0

​ 那么由质点的角动量定理可得 \[ \mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=常矢量 \] ​ 如果作用在质点上的合力对某一规定点的力矩为零，则质点对该点的角动量保持不变

​ 该定理称为质点的角动量守恒定理

​ 由力矩的定义\(\mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}\)可知，力矩为零有两种情况：

1. 当F=0，质点不受外力作用时
2. 虽然\(\mathbf{F\neq0}\)但力的作用线始终通过某一固定点，这样的力称为有心力，这一固定点被称为力心，力矩也为零

电学

库仑定律

​ 静止的点电荷，静电力正比于所带电荷量的乘积，反比于他们距离的平方 \[ \mathbf{F}=k\frac{q_1q_2}{r^2}\mathbf{e_r}\\ \]

\[ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\space (\varepsilon_0为真空介电常数) \]

\[ \mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\mathbf{e_r}\\ \]

​ 静电力满足叠加原理，对元电荷产生的静电力积分得到整体的静电力

静电场(E)

​ 激发电场

​ 变化电场产生变化磁场

​ 场具备能量和动量，是物质

​ 描述电场性质的物理量：电场强度E,电势V

场强E

\[ \mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q_0} \]

​ 电场强度E是空间坐标的矢量函数 \[ \mathbf{E}=\mathbf{E(r)}或\mathbf{E}=\mathbf{E(x,y,z)} \] ​ 静电场中，任一点只有一个电场强度与之对应，静电场具有单值性 \[ \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\mathbf{e_r} \] ​ 叠加原理： \[ \mathbf{E}=\sum_{i=1}^{n}{E_i}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\sum^n_{i=1}\frac{q_i}{r_i^2}\mathbf{e_ri} \] ​ 连续分布电荷的电场强度： \[ \mathbf{E}=\int d\mathbf{E}=\int \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{dq}{r^2}\mathbf{e_r} \] ​ 电荷密度： \[ dq=\begin{cases}\rho dV\\\sigma dS \\ \lambda dl\end{cases} \]

电场强度计算公式

​ 补偿法计算电场强度：将空处用负电荷填充

电通量&高斯定理

​ 电场线密度：通过电场某点，垂直于场强E的单位面积上电场线条数等于该点电场强度E的大小 \[ \mathbf{E}=\frac{d\Phi_e }{dS} \] ​ \(\mathbf{\Phi_e}\)称为穿过该面的电场强度通量

​ 规定：自闭合曲面向外的方向为各面积分法线的正方向。 \[ \Phi_e=\oint_S \mathbf{E}\cdot dS \] ​ SI中，电场强度通量单位为:\(N\cdot m^2 \cdot C^{-1}\)

​ 高斯定理： \[ \Phi_e=\oint_S \mathbf{E}\cdot dS=\frac{\sum_iq_i}{\varepsilon_0} \] ​ 在真空中的静电场中，通过任意封闭曲面的电场强度通量等于该封闭曲面所包围的电荷的代数和除以\(\varepsilon_0\)。

​ 闭合曲面外的电荷对闭合曲面的电场强度通量无贡献。

​ 高斯定理中闭合积分曲面通常称为高斯面

​ 意义：

• 正电荷称为静电场的源头，负电荷称为静电场的尾闾，静电场是有源场
• 高斯定理适用于静电场、运动电荷和迅速变化的电磁场
• 对称可以考虑使用高斯定理

​ 高斯定理求电势：

1. 进行对称性分析：球对称（均匀带电球面、球体、球壳）；轴对称性（直线、圆柱体、圆柱面）；面对称性
2. 选取高斯面
3. 计算

环路定理&电势

​ 静电力是保守力，静电场是保守场

​ 电场强度E沿任意路径的线积分为零，积分\(\oint _L \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\)称为E的环流 \[ \oint _L \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0 \] ​ 静电场的环路定理：在静电场中电场强度E的环流为零

电势/电势能

​ 静电势能差等于电场力的功 \[ W_{ab}=\int ^b _a q_0\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \] ​ 电势定义为： \[ V_a=\frac{W_a}{q_0}=\int ^\infty _a \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \] ​ 结合后得到： \[ A_{ab}=q_0\int_a ^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} =q_0(V_a-V_b)=W_a-W_b \]

电势的计算

\[ v_a=\int \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 r} \]

​ 若电荷分布延伸到无限远处，不能把势能零点选在无限远处

常见带电体的电势

电场强度与电势的关系

​ 电场强度是电势的微分，电势是电场强度的积分

​ 积分关系： \[ V_a-V_b=\int_a ^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\int _a ^b \mathbf{E}\cos \theta dl \] ​ 微分关系： \[ \mathbf{E_l}=-\frac{dV}{dl},\mathbf{E_l}=\mathbf{E}\cos \theta \] ​ 电场强度在dl方向的分量等于电势沿该方向的变化率的负值

​ 如果dl沿着等势面的法线方向，写为dn，dn是两等势面间的最小位移，因此\(\frac{dV}{dn}\)为\(\frac{dV}{dl}\)的最大值 \[ \mathbf{E}=-\frac{dV}{dn} \] ​ 电场强度大小等于过该点等势面的法线方向电势的变化率，方向与法线方向相反 \[ \mathbf{E}=-(\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{k}) \]

保守力的一点小见解

​ 判定保守力的充要条件是场矢量的旋度为0，即为无旋场。

旋度

​ 环量：给定一个三维空间中的向量场v，以及一个简单闭合有向（平面）曲线L，v沿着曲线的环量就是速度沿着路径的闭合曲线积分 \[ Circ_v(L)=\oint_{L}v\cdot dr \] ​ 线元dr方向是曲线的切线方向，其正方向规定为使得闭合曲线包围的面积在它的左侧。

​ 环量强度（环量的面密度）：向量场沿着L的环量与面元的比值在趋于0时候的极限值 \[ lim_{\Delta S\to 0}\frac{1}{\Delta S}\oint_{L}v\cdot dr \] ​ 如果要表现一点附近向量场的旋转程度，应表现其最大可能值及其所在面积的方向。

​ 向量场的旋度是一个向量，它在一个方向上的投影的大小表示了在这个方向上的环量面密度的大小。

​ 记一点的旋度为\(rot \space v\)或\(curl\space v\)满足： \[ \widehat{n}\cdot curl \space v=lim_{\Delta S\to 0}\frac{1}{\Delta S}\oint_{L}v\cdot dr,\widehat{n}为\Delta S 所在平面的法向量 \] ​ 如果用Nabla算子表示，向量场的旋度记作： \[ \nabla \times v \] ​ 旋度是向量场的一种强度性质，对应的广延性质是向量场沿一个闭合曲线的环量。

表示

​ 在三维直角坐标系\(Oxyz\)中，设向量场 \[ v=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k} \] ​ 场的分量\(v_x,v_y,v_z\)具有一阶连续偏导数，那么在各个坐标下的投影分别为： \[ \cases{(curl \space v)_x=\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z} \\(curl \space v)_y=\frac{\partial v_x}{\partial z} -\frac{\partial v_z}{\partial x} \\(curl\space v)_z=\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y} } \] ​ 的向量叫做向量场v的旋度，也即是 \[ curl \space v=(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z})i +(\frac{\partial v_x}{\partial z} -\frac{\partial v_z}{\partial x})j+(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y})k \] ​

​ 行列式记号为： \[ \nabla \times \mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ v_x & v_y &v_z \end{vmatrix} \]

静电场的导体和电介质

静电平衡

​ 静电平衡时，导体内和表面的自由电子不再运动，由此能推导出静电平衡条件

​ 导体达到静电平衡的条件：

• 导体内部的每一点 的电场强度为0
• 导体表面处的电场强度必定处处垂直于导体表面

​ 导体静电平衡时是一个等势体，导体的表面是一个等势面

电荷分布

​ 导体内部处处没有净电荷存在，电荷只分布在导体的外表面上；若导体内部有空腔，而且空腔内部没有其他带电体，空腔表面上也不存在净电荷。

​ 处于静电平衡的导体，表面上一点的电场强度和该点处导体表面电荷的面密度成正比，即 \[ \mathbf{E}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} \] ​ 处于静电平衡的孤立导体，其表面上电荷面密度的大小与表面的曲率有关

静电感应和静电屏蔽

​ 静电感应：导体在外电场的作用下导体出现电荷重新分布的现象

​ 静电屏蔽：空腔导体内的物体不受外界电场影响

​ 如果导体空腔内部有电荷，由于静电感应，导体的内外表面也会产生等量异号的感应电荷，若此时接地，外表面电荷将全部导入地下，接地的导体外壳把内部电场对外界的影响隔绝了，这也是一种屏蔽现象。

电容

​ 平行板电容器： \[ C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d} \] ​ 球形电容器： \[ C=\frac{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_rR_1R_2}{R_2-R_1} \] ​ 若R₁和R₂都很大，且两球壳的间距d=R₂-R₁很小，于是近似地有\(R_1R_2=R_1^2\)。得： \[ C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d} \] ​ 若\(R_2 \gg R_1 ,则R_2-R_1\approx R_2\)： \[ C=\frac{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_rR_1R_2}{R_2}=4\pi \varepsilon_0\varepsilon_r R_1 \] ​

电场能量

​ 对于平行板电容器： \[ U=Ed,C=\frac{\varepsilon S}{d} \]

\[ W_e=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2=\frac{1}{2}\varepsilon E^2 \cdot Sd=\frac{1}{2}\varepsilon E^2\cdot V \]

​ 式中V为电容器中电场遍及的空间体积

​ 引入电场能量的体密度，即单位体积电场内所具有的电场能量，用符号$_e \(表示：\)$ _e==E^2 $$ ​ 可以看出，只要空间任一处存在电场，电场强度为E，该处单位体积就存储着能量\(\frac{1}{2}\varepsilon E^2\)

​ 在不均匀电场， \[ dW_e=\omega _edV \] ​ 整个电场存储的静电能为： \[ W_e=\int _V d W_e=\int _V \frac{1}{2}\varepsilon E^2 dV \] ​ 式中的积分遍及整个电场分布的空间。

磁学

​

运动电荷、载流导线、磁体能产生磁场.

磁场对运动电荷、载流导线、磁体均有作用力.

稳恒电流的磁场

​ 电流元：在导线上任取以有向线元\(d\mathbf{l}\)，其方向沿电流方向.电流强度\(I\)与\(d\mathbf l\)的乘积，即\(\mathbf Id\mathbf l\)称为电流元矢量，简称电流元，其大小等于电流强度\(\mathbf I\)与线元长度\(d\mathbf l\)的乘积，方向沿电流方向.

​ 磁感应强度大小（比值定义）： \[ B=\frac{d \mathbf F}{\mathbf I dl\sin \theta} \] ​ 电流元受到磁场作用力\(d\mathbf F\)的大小为 \[ d \mathbf F=BIdl\sin \theta \] ​ 方向由右手螺旋定则确定.

​ 矢量式： \[ d\mathbf F=Id\mathbf l \times \mathbf B \] ​ 通常，\(d\mathbf F\)被称为安培力，上式被称为安培力公式. ​ 当\(\theta =\frac{\pi}{2}\)时，电流元受到磁场的作用力最大，有 \[ B=\frac{dF_{max}}{Idl} \] ​ 磁感应强度B的大小等于单位电流元受到的最大磁场力. ​ 综上，磁感应强度B的定义为：

​ 磁场中某点的磁感应强度B是一个矢量，其方向沿该点处静止小磁针的N极指向，其大小等于单位电流元在该点处受到的最大磁场力.

​ SI中，磁感应强度B的单位为特斯拉(T),简称特。

​ 非SI单位——高斯(Gs)，它与T的换算关系是 \[ 1T=10^4Gs \] ​ 载流闭合线圈在匀强磁场中受到的安培力矢量和恒为零。

毕奥-萨伐尔定律定律

​ 在导线上任取一电流元\(\mathbf Id\mathbf l\),P为空间中任意一点，由\(\mathbf Id\mathbf l\)到P点的位矢为\(\mathbf r\)，\(\mathbf Id\mathbf l\)和\(\mathbf r\)之间的夹角为\(\theta\).

​ 毕-萨定律的数学表达式为： \[ dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf I dl\sin \theta}{r^2} \] ​ 式中\(\mu_0=4\pi \times 10^{-7}N \cdot A ^{-2}\)，称为真空磁导率. ​ 方向由右手螺旋定则确定.

​ 矢量式： \[ d\mathbf B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf I d\mathbf l \times \mathbf r}{r^3}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf I d\mathbf l \mathbf e_r}{r^2} \] ​ 式中\(\mathbf e_r\)是\(\mathbf r\)方向的单位矢量.

​ 遵从矢量叠加定律，则有 \[ \mathbf \int d \mathbf B=\int \frac{\mu _0}{4\pi}\frac{\mathbf I d\mathbf l\times \mathbf e_r}{r^2} \] ​ 积分遍及整个载流导体或导体回路. ​ 常选取适当坐标系将\(d\mathbf B\)进行分解，例如在直角坐标系 \[ d \mathbf B=d B_x \mathbf i+d B_y \mathbf j+d B_z \mathbf k \] ​ 然后分别对\(d\mathbf B\)的三个直角分量进行积分，得: \[ B_x=\int dB_x ,\space B_y=\int dB_y,\space B_z=\int dB_z \] ​ 而总磁感应强度为： \[ \mathbf B=B_x \mathbf i+ B_y \mathbf j+ B_z \mathbf k \] ​ 一般情况下\(B\neq \int dB\)，除非所以的\(d\mathbf B\)的方向都相同，才能直接对\(d\mathbf B\)的大小进行积分得到总磁感应强度B的大小.

载流直导线

​

​ 若载流直导线两端延伸到无限远，成为无限长载流直导线，则： \[ B=\frac{\mu _0 I}{2\pi a} \] ​ 上述是一个常用公式.(非常重要)

载流圆线圈轴线

磁偶极子

​ 由右手螺旋定则可以将载流线圈看作“磁偶极子”

​ 载流线圈的磁矩定义为： \[ \mathbf m=\mathbf I S\mathbf e_n \] ​ 式中的\(\mathbf e_n\)是载流线圈平面正法线方向的单位矢量，其方向与线圈中电流的绕行方向满足右手螺旋定则. ​ 磁矩是一个矢量，其大小等于IS，此举的方向沿载流线圈的正法线方向. ​磁矩的定义对于电流为I的任意形状的平面载流线圈都适用.

​ 若线圈是由紧靠在一起、载流为\(I\)的N匝相同线圈组成的，其磁矩可写作： \[ \mathbf m=NIS\mathbf e_n \] ​ 利用磁矩的概念，载流圆线圈轴线上的磁感应强度\(\mathbf B\)可写作： \[ \mathbf B=\frac{\mu _0}{2\pi}\frac{\mathbf m}{(x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}} \] ​ 两根载有反方向电流的导线在两线外侧单独产生的磁场部分抵消，使得总磁感应强度以更快的速度衰减，即与距离的二次方成反比.

带电均匀圆盘

计算方法&常用的磁感应强度公式

1. 将电流分割为无限多个电流元
2. 任取一个电流元，根据毕-萨定律写出该电流元在P点产生的磁感应强度\(d\mathbf B\)的大小并判断方向
3. 如果所有电流元在P点产生的磁感应强度\(d\mathbf B\)的方向都相同，则直接积分得到
4. 如果不同，则需要将\(d\mathbf B\)分解，然后对各分量进行积分，积分应遍及整个电流分布

运动电荷的磁场

​ 在载流导体上任取一个电流元\(\mathbf I d\mathbf l\),P点为空间中任意一点，由电流元到P点的位矢\(\mathbf r\)，根据毕--萨定律，该电流元在P点产生的磁感应强度为： \[ d\mathbf B=\frac{\mu _0 }{4\pi}\frac{Id\mathbf l}{r^3} \] ​ 设导体的横截面积为\(S\)，单位体积内载流子数目为\(n\)，每个载流子所带电荷为\(q\)，并以平均速度\(v\)定向运动，根据电流定义\(I=nqvS\)，因此电流元的大小可表示为： \[ Idl=nqvSdl=qvdN \] ​ 其中，\(dN=nSdl\)是所考察的电流元中包含的载流子数.

​ 因此，电流元矢量可写为 \[ Id\mathbf l=q\mathbf vdN \] ​ 将这一结果代入毕萨定律得： \[ d\mathbf B=\frac{\mu _0 }{4\pi}\frac{q\mathbf v\times \mathbf r}{r^3}dN \] ​ 上式说明，电流元产生的磁场正是由电流元中dN个运动着的电荷所产生的.由此，得到带电为q、运动速度为\(\mathbf v\)的一个带电粒子在P点产生的磁感应强度\(\mathbf B\)为 \[ \mathbf B=\frac{d\mathbf B}{dN}=\frac{\mu _0 }{4\pi}\frac{q\mathbf v\times \mathbf r}{r^3} \] ​ 其中\(\mathbf r\)是由运动电荷到P点的位矢.

​ 运动电荷在P点产生的磁感应强度\(\mathbf B\)的大小为： \[ \mathbf B=\frac{\mu _0 }{4\pi}\frac{|q| v \sin \theta }{r^2} \] ​ 其中\(\theta\)是电荷定向运动速度\(\mathbf v\)与位矢\(\mathbf r\)之间的夹角.\(\mathbf B\)的大小垂直与速度\(\mathbf v\)和位矢\(\mathbf r\)所决定的平面，由右手螺旋法则确定.

​ 该式只适应于电荷的运动速度远小于光速的情况.

​ 运动电荷除了产生磁场外，还在其周围空间产生电场，在电荷运动速度远小于光速的情况下，运动电荷在P点产生的电场强度为 \[ \mathbf E=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^3}\mathbf r \] ​ 运动电荷的电场和磁场之间有如下关系： \[ \mathbf B=\mu _0 \varepsilon_0 \mathbf v\times \mathbf E \] ​ 上式表明，运动电荷产生的电场和磁场是紧密联系的.

磁通量&高斯定理

磁通量

​ 磁场线的每一点的切线方向代表\(\mathbf B\)的方向，磁场的强弱由磁场线的疏密来表示. ​ 在磁场中某点处取一个和该点处磁感应强度\(\mathbf B\)相垂直的面积元，其面积为\(dS_\bot\)，让穿过这一面积元的磁场线条数\(d\Phi_m\)和面元面积\(dS_\bot\)的比值等于该点处磁感应强度\(\mathbf B\)的大小 \[ B=\frac{d\Phi_m}{dS_\bot} \] ​ 也就是说，磁场中某点处的磁感应强度\(\mathbf B\)的大小等于通过和该点处磁感应强度\(\mathbf B\)相垂直的单位面积的磁场线条数(磁场线密度)

​ 将一曲面分割为无限多个面积元.任取一个面积元\(dS\)，根据磁场线的定义，穿过该面积元的磁通量，即磁场线条数为 \[ d\Phi_m=BdS_\bot=B\cos \theta dS=\mathbf B \cdot d \mathbf S \] ​ 式中\(\theta\)是面积元\(dS\)的法向单位矢量\(\mathbf e_r\)与磁感应强度\(\mathbf B\)之间的夹角，\(d\mathbf S=dS\mathbf e_r\)是面积元矢量. ​ 磁通量是标量，穿过整个曲面S的磁通量等于穿过每一个面积元磁通量的代数和，因此，对上式积分，可得到穿过整个曲面S的磁通量 \[ \Phi_m=\int_S \mathbf B\cdot d\mathbf S=\int _S B\cos \theta dS \] ​ 积分遍及整个曲面S. ​ 对于闭合曲面，磁场线穿出时相应的磁通量为正，穿入时相应的磁通量为负.

​ 在SI中，磁通量的单位时韦伯(Wb),\(1Wb=1T\cdot m^2=1N\cdot m \cdot A^{-1}\)

磁场高斯定理

​ 由于磁场线都是无头无尾的闭合曲线，显然，从一个闭合曲面S某处穿入的磁场线将要从该闭合曲面的另一处穿出.

​ 所以，在任意磁场，通过任意闭合曲面S的磁通量必定为零，即 \[ \oint _S\mathbf B\cdot d\mathbf S=\oint _S B\cos \theta dS=0 \] ​ 上述结论即为磁场的高斯定理. ​ 与静电场的高斯定理进行对比 \[ \oint _S \mathbf E\cdot d \mathbf S=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_S q_i \] ​ 静电场的高斯定理表明：静电场时由静电荷产生的，是有源场，电场线不闭合，起于正电荷，终止于负电荷;

​ 磁场的高斯定理表明：磁场是既无起点也无终点的闭合曲线，没有源头和尾闾，是无源场.

安培环路定理

​ 静电场的环路定理表明，静电场强\(\mathbf E\)沿任意闭合路径L的环流恒等于零，即 \[ \oint _L\mathbf E\cdot d\mathbf l\equiv 0 \] ​ 它反映了静电场是保守场这一特点.

安培环路定理：

​ 真空中，稳恒磁场的磁感应强度\(\mathbf B\)沿任意闭合路径L的线积分等于真空磁导率\(\mu_0\)乘以穿过该闭合路径的所有电流的代数和，其数学表达式为 \[ \oint _L \mathbf B \cdot d\mathbf l=\mu_0 \sum_L I_i \] ​ \(\mathbf B\)的环流与积分路径外的电流及其分布无关.

​ 如上图，\(\mathbf B\)的环流仅于\(I_1、I_2\)有关.

​ 在安培环路定理中，电流是代数量，其正、负由右手螺旋定则确定.

​ 可从

• 闭合路径包围电流

​

• 闭合路径不包围电流
• 闭合回路内外均有多个直线电流

​ 磁感应强度\(\mathbf B\)是由所有的稳恒电流及其分布决定的，但是，\(\mathbf B\)的环流仅与穿过闭合路径的电流代数和有关.

​ 在矢量分析中，把矢量环流等于零的场称为无旋场，反之称为有旋场.静电场是无旋场，磁场是有旋场.

​ 磁场的高斯定理对变化的磁场也适用，但是这里给出的安培环路定理对变化的磁场不成立，需要进一步的推广.

无限长均匀载流空心圆柱导体的磁场

​ 均匀空心长圆柱导体产生的磁感应强度\(\mathbf B\)的大小与到轴线距离\(r\)的关系曲线

无限长载流密绕螺线管

无限大均匀载量平面

载流密绕螺线管

计算方法

​ 在稳恒电流分布具有某种对称性的条件下，利用安培环路定理可以十分方便地求出磁感应强度\(\mathbf B\)

1. 根据电流分布的对称性确定磁场分布的对称性
2. 根据磁场分布的对称性适当地选取积分回路，使得\(\mathbf B\)与\(d\mathbf l\)要么互相平行，要么相互垂直

磁场对电流的作用

磁场对载流导线的作用

​ 在载流导线取一电流元，电流元受到磁场的作用力 \[ d \mathbf F =Id\mathbf l \times \mathbf B \] ​ 积分得到载流导线受到磁场的总作用力 \[ \mathbf F=\int d\mathbf F=\int _L I d\mathbf l\times \mathbf B \] ​ 积分遍及整个载流导线. ### 计算法

1. 任取一个电流元
2. 确定该电流元所处磁场的磁感应强度\(\mathbf B\)
3. 由安培力公式写出该电流元受到的安培力\(d\mathbf F=Id\mathbf l\times \mathbf B\)
4. 积分得到磁场对电流的作用力（矢量积分，方向不同需要分解）

电流强度的单位——安培

​ 应用安培力公式计算得到

均匀磁场对平面载流线圈的作用

​ 设在磁感应强度\(\mathbf B\)的匀强磁场，有一刚性矩形载流为\(I\)线圈\(abcda\)，线圈可绕垂直于磁感应强度\(\mathbf B\)的轴\(OO'\)转动.线圈的磁矩为\(\mathbf m=IS\mathbf e_n\)，其中\(S=ab\cdot da\)是线圈的面积.假定某一时刻，线圈的磁矩\(\mathbf m\)或线圈法向单位矢量\(\mathbf e_n\)与磁感应强度\(\mathbf B\)之间的夹角为\(\theta\)

​ 根据安培力公式，四个边受到安培力大小为 \[ F_{ab}=Iab\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=IabB\cos \theta \]

\[ F_{bc}=IbcB \]

\[ F_{bc}=Iab\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=IabB\cos \theta \]

\[ F_{da}=IdaB \]

​ 四个力的方向如图所示，从图上可以看出四个力的矢量和为零，即在匀强磁场中，载流线圈受到安培力的矢量和为零.

​ \(\mathbf F{ab}\)和\(\mathbf F{cd}\)在同一直线上，相互抵消，但\(\mathbf F{bc}\)和\(\mathbf F{da}\)并不在同一直线上，两者形成一力偶，对线圈产生力矩作用.他们对线圈产生的磁力矩（力偶矩）\(\mathbf M\)的大小为 \[ \mathbf M=F_{da}ab\sin\theta =IdaBab\sin\theta=ISB\sin \theta =\mathbf mB\sin\theta \] ​ 从上式可以看出，匀强磁场对载流线圈产生的磁力矩不仅与线圈中电流强度I、线圈面积S以及磁感应强度\(\mathbf B\)有关，还与线圈在磁场中的取向即线圈磁矩\(\mathbf m\)和磁感应强度\(\mathbf B\)之间的夹角\(\theta\)有关, \[ \mathbf M=\mathbf m\times \mathbf B \] ​ 在磁力矩的作用下，线圈的磁矩\(\mathbf m\)将要朝着磁场的方向转动.

磁力的功

​ 载流导线和载流线圈在磁场中运动时，磁力就要对它们作功

​ 得到一般式 \[ A=I \mathbf{\Delta \Phi_m} \] ​

计算法

1. 确定磁场对载流导线的作用力和对载流线圈的力矩，然后利用力作功及力矩作功的定义求解。
2. 利用电流强度乘以导线切割的磁场线条数或乘以穿过电流回路的磁通量增量来计算.\(A=I \mathbf{\Delta \Phi_m}\)

磁场对运动电荷的作用

​ 我们称磁场对运动电荷的作用力为洛伦兹力.安培力就其微观的本质而言，可以归结为导线中大量运动电荷受到洛伦兹力的宏观表现.

​ 设一电流元\(Id\mathbf l\)处在外磁场中，电流元所在处磁感应强度为\(\mathbf B\).根据安培力公式，该电流元受到的安培力为\(d\mathbf F=Id\mathbf l\times \mathbf B\)，若电流元中载流子总数为\(dN\)，每个载流子所带电荷为q、定向运动速度为\(\mathbf v\)，根据安培力公式，电流量矢量 \[ Id\mathbf l=q\mathbf vdN \] ​ 将上式代入安培力公式，得： \[ d\mathbf F=q\mathbf v\times \mathbf BdN \] ​ 由此得到带电为q、运动速度为\(\mathbf v\)的一个带电粒子在磁场中的受到的洛伦兹力\(\mathbf F'\)为 \[ \mathbf F'=\frac{d\mathbf F}{dN}=q\mathbf v\times \mathbf B \] ​ 根据上式，运动电荷受到的洛伦兹力\(\mathbf F'\)的大小为 \[ \mathbf F'=|q|vB\sin \theta \] ​ 式中\(\theta\)是电荷运动速度\(\mathbf v\)与\(\mathbf B\)之间的夹角.\(\mathbf F'\)的方向垂直于电荷运动速度\(\mathbf v\)和磁感应强度\(\mathbf B\)所决定的平面，指向由右手螺旋定则确定.

​ 由于洛伦兹力始终与电荷的运动速度\(\mathbf v\)相垂直，所以洛伦兹力对运动电荷作的功恒等于零，也就是说洛伦兹力只能改变带电粒子的运动方向，不能改变带电粒子的速率.

​ 当带电粒子在既有电场又有磁场的区域运动时，作用在该粒子上电场力和磁场力的矢量和为 \[ \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times \mathbf B) \] ​ 上式称为普遍情况下的洛伦兹力公式，它是电磁学的基本公式之一，普遍成立.

​ 根据普遍的洛伦兹力公式，带电粒子在电磁场中的运动方程可设为（重力可忽略） \[ q(\mathbf E+\mathbf v\times \mathbf B)=\frac{d\mathbf p}{dt} \] ​ 当例子运动速度远小于光速时，上式可写为 \[ q(\mathbf E+\mathbf v\times \mathbf B)=m\mathbf a \] ​ 对于带电粒子在匀强磁场中的运动，下面分为两种情况讨论：

v和B垂直

​ 设质量为m、带电为q的粒子在磁感应强度为\(\mathbf B\)的匀强电场中运动，粒子的速度\(\mathbf v\)始终与磁感应强度\(\mathbf B\)垂直，洛伦兹力\(\mathbf F\)只能改变带电粒子的运动方向，因此，粒子将在垂直于\(\mathbf B\)的平面内作匀速率圆周运动.设粒子运动的圆轨道半径为R，根据牛顿第二定律，有 \[ qvB=m\frac{v^2}{R} \] ​ 由此得到粒子的轨道半径为 \[ R=\frac{mv}{qB} \] ​ 式中q/m称为带电粒子的荷质比.

​ 对于给定的带电粒子，荷质比是一定的，所以当\(\mathbf B\)一定时，粒子的速率越大，粒子做圆周运动的轨道半径越大.

​ 粒子在匀强磁场中作半径为R的圆周运动时的周期T为 \[ T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi m}{qB} \] ​ 由上式可知，在低速条件下，带电粒子在匀强磁场中旋转的周期与粒子的速度无关.

​ 当粒子运动速度很高时，根据狭义相对论，带电粒子的质量m将随着粒子速度的增加而增加，因而粒子的旋转周期将随着粒子速度的增加而变长，为了使带电粒子不断得到加速，高频电场的频率要随着粒子的加速过程而同步变化.

v和B成θ角

​ 设带电粒子的速度\(\mathbf v\)和磁感应强度\(\mathbf B\)之间的夹角为θ，如图

​ 在这种情况下，可以将粒子运动速度\(\mathbf v\)分解为平行于\(\mathbf B\)的分量\(v_{//}=v\cos \theta\)和垂直于\(\mathbf B\)的分量\(v_\bot=v\sin\theta\).粒子沿平行于\(\mathbf B\)的的方向以速度\(v_{//}=v\cos \theta\)作匀速运动，而在垂直于\(\mathbf B\)的方向内以速率\(v_\bot=v\sin\theta\)作匀速率圆周运动，合成的运动轨迹为螺旋线.粒子的回转半径、旋转周期T和螺距h分别为 \[ R=\frac{mv_\bot}{qB}=\frac{mv\sin\theta}{qB} \]

\[ T=\frac{2\pi R}{v_\bot}=\frac{2\pi m}{qB} \]

\[ h=v_{//}T=\frac{2\pi mv\cos \theta}{qB} \]

​

霍尔效应

​ 将一块通有电流I的导电板，放在磁感应强度为\(\mathbf B\)的匀强磁场中，当磁场方向与电流方向垂直时，在垂直于电流的另一个方向上，即在导体板a、b两个表面之间会出现微弱的电势差\(U_{ab}\)，这一现象被称为霍尔效应. \[ U_{ab}=R_H\frac{IB}{d} \] ​ 式中的比例系数\(R_H\)是一个常量，称为霍尔系数.

​ 形成原因：

​ 设在导电板内单位体积内载流子的数目为n，每个载流子所带电荷为q，定向运动速度为\(\mathbf v\)，先讨论载流子带正电，即q>0的情况.

​ 载流子定向运动方向将沿电流方向，载流子在磁场中受到洛伦兹力\(F_m\)的大小为\(F_m=qvB\)方向向下,在洛伦兹力的作用下，载流子向下偏移，结果a面不断积累正电荷，b面不断积累负电荷，在a、b两个表面之间逐渐形成一个不断增强的电场\(\mathbf E\)，称为霍尔电场.载流子会同时受到霍尔电场的作用力\(F_e，F_e\)的大小为\(F_e=qE\),方向向上，于洛伦兹力的方向相反，最终霍尔电场力和洛伦兹力达到平衡时，电荷积累过程停止，最终形成了稳定的霍尔电场\(E\)和电压\(U_{ab}\).

​ 定量分析

​ 霍尔电场力和洛伦兹力达到平衡： \[ qE=qvB \] ​
\[ E=vB \] ​ 若l为导体板宽度，d为板的厚度，则a、b两个表面之间的电压\(U_{ab}\)为 \[ U_{ab}=El=vBl \] ​ 另外，导体中的电流强度为 \[ I=nqvS=nqvld \] ​ 将上面两式联立 \[ U_{ab}=\frac{1}{nq}\frac{IB}{d} \] ​ 得到霍尔系数为 \[ R_H=\frac{1}{nq} \]

1. 霍尔系数与载流子浓度n成正比.
2. 霍尔系数的正负由载流子电荷的正负决定，而霍尔电压的正负取决于霍尔系数的正负.

电磁感应

James Clerk Maxwell FRSE FRS (13 June 1831 – 5 November 1879) was a Scottish mathematician and scientist responsible for the classical theory of electromagnetic radiation, which was the first theory to describe electricity, magnetism and light as different manifestations of the same phenomenon. Maxwell's equations for electromagnetism have been called the "second great unification in physics" where the first one had been realised by Isaac Newton.

法拉第电磁感应定律

电源电动势

​ 电源：在电路中提供非静电力的装置

​ 电动势：定量地描述电源转化能量的能力大小，用\(A_非\)表示电源内电荷从负极移动到正极时非静电力作的功，电源的电动势\(\epsilon\)定义为 \[ \epsilon =\frac{A_非}{q} \] ​ 上式表明，电源的电动势等于非静电力把单位正电荷从负极经电源内部移动到正极时所做的功.

​ 电动势是一个标量，但通常将电源内部电势升高的方向规定为电动势的方向.

​ 用\(E_k\)表示非静电性的场强，则作用在电荷q上的非静电力为\(\mathbf F_k=q\mathbf F_k\)，则电源内部，电荷q由负极移动到正极时非静电力所作的功为 \[ A_非=\int _{(-)} ^{(+)}\mathbf F_k\cdot d\mathbf l \] ​ 得到： \[ \epsilon =A_非=\int _{(-)} ^{(+)}\mathbf E_k\cdot d\mathbf l \] ​ 若非静电力存在于整个闭合电流回路中，这时整个回路的总电动势为 \[ \epsilon =\oint _L \mathbf E_k\cdot d\mathbf l \] ​ 上式适用于任何包含电源的闭合电路.

​ 电动势一般都取决于电源本身的性质，而与外电路无关.

​ 电磁感应现象：当穿过一闭合导体回路所围面积内的磁通量发生变化时，无论这种变化是何种原因引起的，该回路中就会产生电流.这种电流称为感应电流，而驱动电流的电动势被称为感应电动势，这种现象称为电磁感应现象.

法拉第电磁感应定律

​ 导体回路产生的感应电动势大小与穿过导体回路的磁通量变化率成正比.

​ 数学表达式如下： \[ \epsilon =-\frac{d\Phi_m}{dt} \] ​ 楞次定律判断感应电流、感应电动势的方向

​ 楞次定律：闭合回路中，感应电流的方向总是使得它自身所产生的磁通量反抗引起感应电流的磁通量变化.

​ 楞次定律实际上是能量守恒定理在电磁学的一种体现.

假设感应电流的方向是顺时针，它将增强磁通的变化进而产生更强的感应电流，这种“正反馈”过程将直接导致能量守恒定理的破坏.

​ 若线圈是N匝串联而成的，且穿过各匝线圈的磁通量相等，则由于磁通量的变化，整个线圈的感应电动势\(\epsilon\)应等于各匝线圈中感应电动势的代数和 \[ \epsilon = -N\frac{d\Phi_m}{dt}=-\frac{d\psi}{dt} \] ​ 我们称\(\psi=N\Phi_m\)为磁通匝链数.

​ 设线圈中的电阻为R，则通过线圈的感应电流为 \[ I=-\frac{1}{R}\frac{d\psi}{dt} \] ​ 在\(\Delta t=t_2-t_1\)的时间内，流过线圈任一匝导线横截面的感应电荷为 \[ q=|\int _{t_1} ^{t_2}Idt|=\frac{1}{R}|\int _{t_1} ^{t_2}d\psi|=\frac{1}{R}|\psi_2-\psi_1| \] ​ 上式表明流过线圈的感应电荷仅与磁通匝链数变化的绝对值成正比.

​ 用法拉第定律求解回路中的感应电动势，关键是找到回路中的磁通量表达式.一般情况下，磁通量是时间的函数，通过对时间求导即可得到感应电动势的大小.

动生电动势

​ 由法拉第电磁感应定律和磁通量定义得到：要使闭合回路上的磁通量发生变化，大体有以下三种方式“

1. 磁场中回路的面积发生变化
2. 磁场与回路间的夹角发生变化
3. 回路中磁场发生变化

​ 前两种情况都属于导体回路或其一部分在磁场中运动，我们称这两种情况为动生电动势.

​ 而将由于磁场发生变化产生的电动势称为感生电动势.

运动导体中的感应电动势

​ 我们把导体或导体回路在稳恒磁场中运动，或导体回路的形状在稳恒磁场中变化时产生的感应电动势称为动生电动势.

​ 当导线ab以速度\(\mathbf v\)向右运动时，其中的自由电子被带着以同一速度向右运动，因而每个电子都受到洛伦兹力\(\mathbf F_m\)的作用， \[ \mathbf F_m=-e\mathbf v\times \mathbf B \] ​ 它所对应的非静电场强\(\mathbf E_k\)为 \[ \mathbf E_k=-\frac{\mathbf F_m}{e}=\mathbf v\times \mathbf B \] ​ 根据电动势的定义，这一非静电性场强所产生的电动势为 \[ \epsilon=\int_b ^a \mathbf E_k\cdot d\mathbf l=\int _b ^a(\mathbf v\times \mathbf B)\cdot d\mathbf l \] ​ 显然，产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力.

​ 当整个闭合导体回路L都在磁场中运动时，则在回路中产生的动生电动势为 \[ \epsilon=\oint(\mathbf v\times \mathbf B)\cdot d\mathbf l \] ​ 补偿法可以使得某些问题简化

​ 圆盘可以看作是多条沿圆盘直径方向的细棒并联而成.

转动线圈的感应电动势

​ abcd是面积为S、匝数为N的矩形线圈，在匀强磁场\(\mathbf B\)中以匀角速度\(\omega\)绕中心轴\(OO'\)转动.若t=0时刻线圈的法线\(mathbf e_n\)平行于\(\mathbf B\),t时刻线圈的发现\(\mathbf e_n\)与磁感应强度\(\mathbf B\)间的夹角\(\theta =\omega t\)这时通过线圈的磁通匝链数为 \[ \psi=N\mathbf B\cdot S=NBS\cos \omega t \] ​ 因此有 \[ \epsilon =-\frac{d\psi}{dt}=NBS\omega \sin \omega t=\epsilon_m \sin \omega t \] ​

​ 式中\(\epsilon =NBS\omega\)是动生电动势的最大值.

​ 对于线圈而言，取一段弧微元，然后使用\(dl=rd\theta\)通常能起到很好的效果.

计算法

​ 动生电动势求解的问题大致有两种

1. 求一段形状规则的切割磁感线的运动导线两端的电动势
2. 求一段形状复杂的切割磁感线的运动导线两端的电动势，“以直代曲”

感生电动势

​ 把导体回路固定不变，穿过回路磁通量的变化仅仅是由于磁场变化所引起的感应电动势称为感生电动势.

graph LR
	变化的磁场-->有旋电场-->自由电荷-->感生电动势

不论有无导体或导体回路，变化的磁场都将在其周围空间产生具有闭合电场线的电场，并称此为有旋电场或感生电场，正是这种有旋电场决定了感生电动势.

感生电动势方向的确定

​ Maxwell给出公式 \[ \epsilon =\oint \mathbf E_v\cdot d\mathbf l=-\frac{d\psi}{dt}=-\iint\limits_S \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\cdot dS \] ​ 式中\(\mathbf E_V\)表示有旋电场的电场强度.积分区间S是以闭合路径L为周界的平面或曲面.

​ 式子说明：在变化的磁场中，感生电动势等于电场强度\(\mathbf E_v\)对任意闭合路径L的线积分，也等于这一闭合路径所包围面积上磁通量的变化率.

​ 静电场与有旋电场都具有能量，都对电荷有力的作用，这是两者的共同点，但它们也有重要区别：

​ 闭合路径L的积分绕行正方向与其所包围面积的法线正方向满足右手螺旋定则，则由积分式可知：\(\mathbf E_v\)线的方向与\(\partial \mathbf B /\partial t\)的方向之间满足右手螺旋法则.

一般由楞次定律判断，感生电动势形成的感应电流会产生磁场去反抗磁场的变化.

例题：

计算法

​ 计算感生电动势的方法有两种：

1. 对一段导体的感生电动势，常用: \[ \epsilon=\int_a ^b \mathbf E_v \cdot d\mathbf l \] 进行计算。

   故先计算出\(\mathbf E_v\)，再积分，即可得到感生电动势大小.

   但一般情况下，计算\(\mathbf E_v\)是困难的，只有具有某些对称性的情况才能求出

2. 对于闭合回路的感生电动势，常用： \[ \epsilon=\oint \mathbf E_v \cdot d\mathbf l=-\frac{d\Phi_m}{dt} \] 进行计算.

   为此常先求出待求闭合回路的磁通量，再利用此式，即可计算出感生电动势.

   如果是非闭合导体，可通过先做辅助线构成闭合回路再计算.

电子感应加速器

​ 利用强的交变电流激励产生交变磁场，变化的磁场产生有旋电场，电场强度为 \[ \mathbf E_v=\frac{1}{2\pi r}\left | \frac{d\Phi_m}{dt} \right | \] ​ 该有旋电场的电场线是一些同心圆.

​ 如何使电子稳定在圆形轨道上加速

​ 设电子圆形轨道处的磁感应强度的大小为\(B_R\),则\(B_R\)必须满足 \[ ev B_R=m\frac{v^2}{R} \] ​

​ 其中，v是电子运动某时刻的速率，R是电子圆轨道的半径，因此有 \[ B_R=\frac{mv}{eR} \] ​ 由上式可以看出，要使电子在有确定半径R的轨道上运动，要求磁感应强度\(B_R\)随电子动量的增加而增加，上式两边对时间求导，得 \[ \frac{dB_R}{dt}=\frac{1}{eR}\frac{d(mv)}{dt} \] ​ 电子沿圆轨道切向运动，其动量变化率等于它受到的切向力\(eE_v\)，所以上式又可写为 \[ \frac{dB_R}{dt}=\frac{E_v}{R} \] ​ 将\(\mathbf E_v=\frac{1}{2\pi r}\left | \frac{d\Phi_m}{dt} \right |\)代入，得 \[ \frac{dB_R}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d\bar B}{dt} \] ​ 上式表明，\(\bar B\)和\(B_R\)一直在改变，但应一直保持 \[ B_R=\frac{1}{2}\bar B \]

涡电流

​ 将大块金属放置在随时间变化的磁场中，或使其在非均匀磁场中运动，由于变化的磁场激起的有旋电场的作用，都有可能在导体中产生很大的感应电流，通常称此电流为涡电流或涡流.

电磁阻尼

​ 涡流会产生磁效应，形成电磁阻力，阻碍运动.我们称这种现象为电磁阻尼.

自感与互感

自感

​ 导体电流发生变化，通过回路自身所包围面积中磁通量也将发生变化，从而在该回路中产生感应电动势.

graph LR;
	电流变化-->磁通量变化-->感应电动势-->阻碍电流变化

​ 设一回路通有电流I，根据毕-萨定律，该电流产生的磁感应强度\(\mathbf B\)与回路电流\(I\)成正比，所以穿过该回路的磁通匝链数\(\psi\)也与电流\(I\)成正比，即 \[ \psi=LI \] ​ 式中的比例系数称为该回路的自感系数，简称自感.

​ 自感L的大小仅取决于回路的大小、形状、线圈的匝数以及其中磁介质的情况.

​ 在SI中，自感的单位是亨利(\(H或mH、\mu H等\))

​ 若回路的自感L保持不变，则通过回路的磁通匝链数\(\psi\)仅随回路中电流I的变化而变化.根据法拉第电磁感应定律，自感电动势为 \[ \epsilon _L=-\frac{d\psi}{dt}=-L\frac{dI}{dt} \] ​ 以上可得自感系数的另一种表达形式： \[ L=-\frac{\epsilon}{\frac{dI}{dt}} \] ​ 其中的负号表示自感电动势\(\epsilon_L\)产生的感应电流的方向总是反抗回路中电流I的变化.

​ 自感有使回路保持其原有电流不变的性质.有时又把自感系数称为“电磁惯性”.

常用的自感系数公式

​

互感

​ 一个闭合的导体回路，当其中的电流随时间变化时，它周围的磁场也随时间变化，从而在邻近的另一个回路中产生感应电动势的现象，称为互感现象，所产生的电动势称为互感电动势.

​

图中有两个固定的闭合回路\(L_1\)和\(L_2\)，回路\(L_2\)中的互感电动势是由回路\(L_1\)中的电流\(I_1\)随时间变化引起的，以\(\epsilon_{21}\)表示此电动势.由毕-萨定律可知，电流\(I_1\)产生的磁感应强度正比于\(I_1\)，因此，通过\(L_2\)所围面积的磁通量也应和\(I_1\)成正比，即 \[ \Psi_{m21}=M_{21}I_1 \] ​ 比例系数\(M_{21}\)定义为回路\(L_1\)对回路\(L_2\)的互感系数，简称互感.

​ 它的大小取决于两个回路的几何形状、相对位置、它们各自的匝数以及它们周围磁介质的分布情况.

​ 根据法拉第电磁感应定律，互感电动势为 \[ \epsilon_{21}=-\frac{d\Phi_{m21}}{dt}=-M_{21}\frac{dI_1}{dt} \] ​ 对于给定的一对导体回路有 \[ M_{21}=M_{12}=M \] ​ M称为这两个导体回路的互感系数，简称为互感，单位为亨利.

常用的互感系数

​ 一般情况下， \[ M=k\sqrt{L_1L_2},0\leq k\leq1 \] ​ k称为耦合系数.当k等于1时，是理性的耦合情况.

计算法

​ 对于自感系数的求解，关键是找出穿过通电线圈回路自身的磁通量，找到后根据自感定义便可求得自感系数；

​ 对于互感系数的求解，可利用两回路互感系数相等的性质进行转化，尝试找出一个闭合回路中电流产生的磁感应强度穿过另一回路的磁通量，再根据互感定义求解.

磁场能量

​

​ 对于图示的简单电路，电源提供的能量一部分用于焦耳热，一部分用于克服自感电动势作功，线圈电流增长的过程，就是自感线圈中的磁场建立的过程.所以克服自感电动势作功所转换的能量就是线圈中电流激发的磁场能量.

​ 下面定量计算这一能量.

​ 设电路接通后回路中某瞬时的电流为I. \[ \epsilon+\epsilon_L=IR \] ​ 自感电动势为 \[ \epsilon_L=-L\frac{dI}{dt} \] ​ 因此 \[ \epsilon=L\frac{dI}{dt}+IR \] ​ 将上式两边同时乘以\(Idt\)，有 \[ \epsilon Idt=LIDI+I^2Rdt \] ​ 等式左边表示电源再\(dt\)时间内作的元功\(\epsilon Idt\).按

​ 当电流达到稳定值I时，这部分能量用\(W_m\)表示为 \[ W_m=\int _0 ^I LIdI=\frac{1}{2}LI^2 \] ​ 上式对任意通有电流I的自感元件都是适用的.

磁场能量密度

​ 磁能是存储在磁场的，通过变换，我们能将磁能用磁场的物理量\(B\)和\(H\)描述.

\(H\)是磁场强度，定义 \[ \mathbf H=\frac{\mathbf B}{\mu _0} \]

计算法

​ 求解磁场能量的普遍方法是利用磁场能量密度进行体积分.

​ 当磁场具有球、柱等对称性时，一般体积元dV的选取方法是：在柱对称的情况下选薄柱层；在球对称的情况下选取薄球壳层.

麦克斯韦电磁场理论

位移电流

​ 稳恒电流的磁场遵从安培环路定律，但是非稳恒电流产生的磁场不适用.

​ 电容器充放电过程中，电容器极板间虽无传导电流，但却存在不断发生着变化的电场.

​ 根据电容器的性质： \[ Q=CU=\frac{\varepsilon_0S}{d}Ed=\varepsilon_0ES=\varepsilon_0 \Phi_e=\varepsilon_e \iint_\limits S \mathbf E\cdot d\mathbf S \]

\[ I_c=\frac{dQ}{dt}=\varepsilon_0\iint _\limits S \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}\cdot d \mathbf S \]

​ 若把最右端的电通量的时间变化率看作为一种电流，那么电路就连续了，麦克斯韦把这种电流称为位移电流. \[ I_D=\varepsilon_0 \iint _\limits S \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}\cdot d\mathbf S= \iint _\limits S \mathbf J_D\cdot d\mathbf S \] ​ 位移电流密度矢量 \[ \mathbf J_D=\varepsilon _0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \] ​

全电流&全电流定律

​ 全电流：通过某一截面的传导电流和位移电流的代数和 \[ I_全=I_C+I_D \] ​ 全电流安培环路定理 \[ \oint_L \mathbf B\cdot d\mathbf l=I_C+I_D=\iint _\limits S (\mathbf J_C+\mathbf J_D)\cdot d\mathbf S \] 麦克斯韦位移电流假说的实质是：位移电流可以在空间中激发磁场.

麦克斯韦方程组

电磁波传播形式：

​ 麦克斯韦方程组的积分形式： \[ \begin{cases} \oint _S \mathbf E \cdot d \mathbf S=\frac{1}{\varepsilon_0}\int _V \rho \cdot dV&电场高斯定理\\ \oint _S \mathbf E \cdot d \mathbf l=-\int _S \frac{\partial \mathbf B }{\partial t}\cdot d\mathbf S\space \space \space &电场安培环路定理\\ \oint_S \mathbf B \cdot d\mathbf S=0\space \space \space &磁场高斯定理\\ \oint _L \mathbf B \cdot d\mathbf l=\mu_0 \int _S \mathbf J \cdot d \mathbf S+\mu_0\varepsilon_0 \int_S \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}\cdot d\mathbf S &磁场安培环路定理 \end{cases} \] ​ 物理意义

1. 通过任意闭合面的电位移通量等于该曲面包围的自由电荷的代数和.
2. 电场强度沿任意闭曲线的线积分等于以该曲线为边界的任意曲面的磁通量对时间变化量的负值.
3. 通过任意闭合面的磁通量恒等于零.
4. 稳恒磁场沿任意闭合曲线的线积分等于穿过以该曲线为边界的曲面的全电流.

​ 涡旋电场和位移电流假说

​ 变化的磁场可以激发涡流电场。

​ 变化的电场可以激发涡旋磁场。

​ 麦克斯韦方程的一般形式： \[ \begin{cases} \oint _S \mathbf D \times d\mathbf S=\sum\limits_{S内}q_{0i} &静电场的高斯定理\\ \oint_L \mathbf E \cdot d \mathbf l=0 &静电场的环路定理\\ \oint _S \mathbf B\cdot d\mathbf S=0 &稳恒磁场的高斯定理\\ \oint _L \mathbf H\cdot d \mathbf l=\sum_\limits {L内}I &稳恒磁场的安倍环路定理\\ \end{cases} \]